本書介紹與大學數(shù)學基礎(chǔ)課程(高等數(shù)學、數(shù)學分析和常微分方程,也包括一小部分線性代數(shù))相關(guān)的應(yīng)用問題,主要是這些課程在數(shù)學和物理中的應(yīng)用,希望能通過這些應(yīng)用問題提高學生學習大學數(shù)學課程的積極性。本書中的應(yīng)用問題有一部分很簡短,可作為簡單的閱讀材料,也有一些有相當難度,可作為探索內(nèi)容。
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目錄
“大學數(shù)學科學叢書”序
前言
第1章 一元函數(shù)的導數(shù) 1
1.1 直接求導 1
1.1.1 極坐標和球坐標中質(zhì)點的動能 1
1.1.2 平面旋轉(zhuǎn)坐標系中的慣性力 2
1.2 Taylor公式與近似計算 5
1.2.1 位于地球表面的物體的重力勢能 5
1.2.2 黑體輻射公式的低頻和高頻近似 6
1.2.3 狹義相對論的質(zhì)能關(guān)系式 6
1.2.4 氫原子能級的精細結(jié)構(gòu) 7
1.2.5 潮汐 9
1.3 單調(diào)性與最大最小值 13
1.3.1 拋體的最遠距離 13
1.3.2 Wien位移定律 15
1.3.3 光的折射與Fermat原理 15
1.3.4 蜂巢的邊界 17
1.3.5 實系數(shù)一元三次方程的實根個數(shù) 18
1.3.6 Young不等式、H.lder不等式和Minkowski不等式 19
1.3.7 Lagrange點 22
1.4 凸性 27
1.4.1 Jensen 不等式 27
1.4.2 平均值不等式 28
第2章 一元函數(shù)的積分 32
2.1 直接積分 32
2.1.1 旋轉(zhuǎn)杯子中的水面 32
2.1.2 Buffon投針問題 33
2.2 微元法 34
2.2.1 繞在桿上的繩子 34
2.2.2 Poiseuille公式 35
2.2.3 火箭 36
2.3 平均 37
2.3.1 桿秤 37
2.3.2 水閘上壓力的力矩 38
2.3.3 引力 39
2.3.4 交流電的平均 39
第3章 常微分方程 42
3.1 一階常微分方程 42
3.1.1 有阻力時的拋體 42
3.1.2 單擺 43
3.1.3 懸鏈線 45
3.1.4 最速曲線 46
3.2 二階線性常微分方程 49
3.2.1 帶阻尼的受迫振動 49
3.2.2 電路中的初始條件 52
3.3 二階非線性常微分方程及方程組 53
3.3.1 以恒力拉起鏈條 53
3.3.2 二體問題 54
3.3.3 過山車的軌道 58
第4章 多元函數(shù)的微積分 63
4.1 多元函數(shù)的微分 63
4.1.1 三角形的Fermat點 63
4.1.2 最小二乘法 66
4.1.3 定壓熱容量與定容熱容量之差.68
4.1.4 平衡態(tài)熵極大的推論 70
4.2 重積分 73
4.2.1 均勻球體產(chǎn)生的引力 73
4.2.2 均勻圓盤產(chǎn)生的引力 74
4.3 曲線積分、曲面積分與向量分析 75
4.3.1 極坐標下的梯度和散度 77
4.3.2 Archimedes定律 79
4.3.3 Maxwell方程組 81
4.3.4 Maxwell方程組的微分形式表示 84
第5章 級數(shù)與Fourier變換 89
5.1 函數(shù)項級數(shù) 89
5.1.1 Kepler第三定律推導中的一個積分 89
5.1.2 Stefan-Boltzmann定律 90
5.2 冪級數(shù) 92
5.2.1 Fibonacci數(shù)列 92
5.2.2 Catalan數(shù) 94
5.2.3 Legendre方程的解的收斂域 97
5.2.4 指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的定義 100
5.3 Fourier級數(shù) 103
5.3.1 Gibbs現(xiàn)象 103
5.3.2 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 105
5.3.3 調(diào)幅波的Fourier級數(shù) 107
5.3.4 調(diào)頻波的Fourier級數(shù) 109
5.4 Fourier變換 111
5.4.1 一個近似周期函數(shù)的Fourier變換 112
5.4.2 光柵的Fraunhofer衍射 113
5.4.3 一維熱傳導方程的求解 116
5.4.4 Heisenberg不確定性原理 117
5.4.5 圓孔的Fraunhofer衍射 119
5.5 離散Fourier變換 121
5.5.1 超長整數(shù)的乘法 122
5.5.2 一個近似周期函數(shù)的離散Fourier變換 123
第6章 線性代數(shù) 126
6.1 線性代數(shù)方程組 126
6.1.1 Thevenin定理 126
6.1.2 純電阻電路中增加電阻 128
6.2 矩陣及其特征值 133
6.2.1 振動系統(tǒng) 133
6.2.2 三階旋轉(zhuǎn)矩陣的特征值和特征向量 134
6.2.3 角速度和旋轉(zhuǎn)坐標系中的慣性力 135
第7章 變分法及其相關(guān)問題 138
7.1 變分法 138
7.1.1 球面上的測地線 140
7.1.2 最速曲線 141
7.1.3 地球表面兩點間的最速曲線 143
7.2 與擺線相關(guān)的一個積分方程 147
7.2.1 等時擺I 147
7.2.2 等時擺II 149
參考文獻 152
附錄 A復數(shù)的指數(shù)形式 153
附錄B 電容和電感 155
B.1 電容 155
B.2 電感 155
B.3 容抗和感抗 156
附錄C 二極管 160
索引 162
“大學數(shù)學科學叢書”已出版書目 165
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