第1 章 數(shù)學(xué)的變遷



1.1　古代數(shù)學(xué)　2

時(shí)代的劃分　2

古代數(shù)學(xué)古埃及、中國(guó)　4

古希臘數(shù)學(xué)與泰勒斯　6



1.2　中世紀(jì)數(shù)學(xué)　9

畢達(dá)哥拉斯　9

古希臘的社會(huì)　10

歐幾里得的《幾何原本》　12

阿基米德與阿拉伯文化　13



1.3　近代數(shù)學(xué)　16

笛卡兒與《談?wù)劮椒ā贰?6

坐標(biāo)與分析·　綜合　18

變化與運(yùn)動(dòng)　20

從天動(dòng)說(shuō)到地動(dòng)說(shuō)　21

伽利略與地動(dòng)說(shuō)　22

微分與積分　24

牛頓與萊布尼茨之爭(zhēng)　26

微積與積分的力量　27

開(kāi)普勒三定律　29

微分、積分與牛頓力學(xué)　31

牛頓力學(xué)與相對(duì)論　34

函數(shù)是什么　36

黑箱　40

因果的法則　45

統(tǒng)計(jì)法則的背景　47

統(tǒng)計(jì)的方法　49



1.4　現(xiàn)代數(shù)學(xué)　52

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征　52

幾何學(xué)成為數(shù)學(xué)發(fā)展的分界線　53

未定義概念　55

集合是什么　58

包含與被包含　61

集合與形式邏輯　63

合成與分解　65

對(duì)應(yīng)與映射　66

數(shù)學(xué)原子論　68

空間性　68

一一對(duì)應(yīng)　70

無(wú)窮集合　71

集合與結(jié)構(gòu)　73

結(jié)構(gòu)是什么同構(gòu)　75

結(jié)構(gòu)的科學(xué)　81

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)　84

代數(shù)結(jié)構(gòu)　87

序結(jié)構(gòu)　93

構(gòu)成的方法　95

現(xiàn)代數(shù)學(xué)、藝術(shù)與科學(xué)　97

動(dòng)態(tài)體系　98

群　100

解剖法與問(wèn)診法　102

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法　105



第2　章 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的邀請(qǐng)



2.1　邀請(qǐng)之一　110

構(gòu)想力的解放　112

結(jié)構(gòu)　114

集合論　117



2.2　邀請(qǐng)之二　120

集合論的創(chuàng)始者　120

基數(shù)　123

可數(shù)無(wú)窮　126



2.3　邀請(qǐng)之三　131

康托爾的目標(biāo)　131

集合論的性格　134

集合的乘方　135

子集的集合　139



2.4　邀請(qǐng)之四　142

集合　142

公理　143

同構(gòu)性　147

結(jié)構(gòu)　149



2.5　邀請(qǐng)之五　152

群　152

置換群　157

子群　163



2.6　邀請(qǐng)之六　165

子群的位數(shù)　165

同構(gòu)　167

自同構(gòu)的群　173



2.7　邀請(qǐng)之七　176

同態(tài)　176

剩余群　181

子群的交集與并集　186



2.8　邀請(qǐng)之八　188

同構(gòu)定理　188

域　191

有限域　196



2.9　邀請(qǐng)之九　203

域的特征　203

最小的域　207

特征為p　的域　214



2.10　邀請(qǐng)之十　217

環(huán)　217

環(huán)的實(shí)例　218

有限環(huán)　221

同態(tài)環(huán)　224



2.11　邀請(qǐng)之十一　230

多元環(huán)　230

四元數(shù)　237



2.12　邀請(qǐng)之十二　241

分析與綜合　241

同構(gòu)與同態(tài)　243

直和與直積　248

冪零與冪等　249



2.13　邀請(qǐng)之十三　254

各種各樣的距離　254

無(wú)窮維的距離空間　261

函數(shù)空間　263



2.14　邀請(qǐng)之十四　267

鄰域　267

閉包點(diǎn)與閉包　270

閉集與開(kāi)集　273



2.15　邀請(qǐng)之十五　278

拓?fù)淇臻g與分離公理　278

T0-　空間　280

T1-　空間　283

T2-　空間　284

T3-　空間　285

連續(xù)映射　286

拓?fù)涞膹?qiáng)弱　288