人人可懂的微積分——用動態(tài)、微觀、累加的觀點來看待微積分
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- 作者：鄧子云
- 出版時間：2024/12/1
- ISBN：9787302696926
- 出 版 社：清華大學出版社
- 中圖法分類：O172
- 頁碼：
- 紙張：膠版紙
- 版次：
- 開本：16開
為實現(xiàn)人人可懂微積分的目標，本書每章從知識樹導覽開始，幫助讀者概覽核心知識點，以應用場景激發(fā)讀者的學習興趣，通過問題先導的方式，提出并解答常見問題。每章正文部分不僅講解理論知識，還設置工程應用實例，以強化理論與實踐的結合。學習微積分最為關鍵的就是學到其精髓——“動態(tài)、微觀、累加”的觀點和思維。全書分為8章，包括極限、導數(shù)、偏導數(shù)、微分、不定積分、定積分、多重積分、常微分方程。以這些內容作為主線，還拓展介紹了無窮級數(shù)、極坐標、歐拉公式等知識。本書不僅可供具有初中數(shù)學基礎的人士閱讀，還可供已經(jīng)進入和即將進入大學的學生、廣大工程技術人員、需要參加自學考試者等閱讀。
本書從作者學習和使用26年微積分知識的感悟出發(fā)，以“輕松讀懂微積分”為目標，把“動態(tài)、微觀、累加”三點精髓貫穿全書，逐步講解極限、導數(shù)、偏導數(shù)、微分、不定積分、定積分、多重積分、常微分方程知識。本書給出了31個微積分知識的應用場景，這些場景有的與生活息息相關、有的具有工程應用背景，有的跨學科應用到力學、電路學等場景，都淺顯易懂，引發(fā)讀者思考數(shù)學、應用數(shù)學。本書用8棵知識樹引出每章的學習內容，用51道問答講解學習微積分可能遇到的難點、堵點問題，用75道例題演示學習的知識點，用78幅插圖開啟對微積分形象和直觀的理解，讓讀者對高等數(shù)學知識有生動的理解，幫助讀者跳出可能會踩到的“坑”。
前言
26年高等數(shù)學情緣與感悟
1999年，我步入大學殿堂，在懵懂之中開始學習微積分。在攻讀完碩士、博士后，我從一名“挨踢民工”（IT諧音，喻指老程序員）輾轉企業(yè)、政府、學校工作，成長為一名學校的教授，始終在使用和學習高等數(shù)學。26年的歷程，與高等數(shù)學結下了一種“甩不掉、有點煩、離不開、喜歡它”的深厚情緣。也正是因為進入學校工作，使得我有時間可以靜心思考和創(chuàng)作，以至于想把心路歷程、數(shù)學感悟、學習方法分享給大家。
一、 從應付考試過關到修行高等數(shù)學
圖1展示了我在本科、研究生求學階段與工作階段對高等數(shù)學的感悟，主要有3點。
圖1在學習和工作中感悟高等數(shù)學
1. 大學要學專業(yè)先學高等數(shù)學，要學高等數(shù)學先學微積分
通常，理工科專業(yè)本科一年級優(yōu)質學期就會先學微積分，部分涉及數(shù)據(jù)分析的文科類專業(yè)也會學。
我那時根本不知道微積分可以用來做什么，只是單純地想要學好、過關、拿個好成績。相信大多數(shù)人也是這種單純的學習動機。大學里，我后續(xù)還學習了“線性代數(shù)”“概率論”這兩門高等數(shù)學課程�！拔⒎e分”“線性代數(shù)”“概率論”這3門高等數(shù)學課程構成了很多專業(yè)高等數(shù)學基礎的“鐵三角”。
我大學讀的是計算機科學與技術專業(yè)。大學期間，在學習上述三門高等數(shù)學課程后，我還學習了“離散數(shù)學”“高等物理”“模擬電路”“數(shù)字電路”“編譯學原理”“算法分析與設計”等課程，它們都或多或少要用到微積分的一些知識。如果沒有微積分知識作基礎，聽這些課程就會像聽“天書”。
很多時候，我們需要在學習專業(yè)課程時回過頭來復習高等數(shù)學知識�？梢哉f，大學四年是提升數(shù)學修為的四年，也是讀書的黃金時期。因此，我認為，“大學就是在不斷提升數(shù)學修為�！�
2. 讀研應突破高等數(shù)學隔墻，學后當具備“三種能力”
大學畢業(yè)后，迫于生計我選擇了先就業(yè)后考研。工作之余，我堅持攻讀了軟件工程專業(yè)的碩士學位和控制科學與工程專業(yè)的博士學位。
剛進入研究生學習階段時，我感嘆的學長們寫出的學術論文滿版都是數(shù)學公式，用數(shù)學表述推理、表述數(shù)據(jù)分析情況，再輔以高清的數(shù)據(jù)展現(xiàn)圖。那時，我勵志自己也要寫出這樣“高大上”的學術論文。
總感覺研究生階段的自己在科學研究、工程實踐之間搖擺不定，仿佛在二者之間有一堵隱形但又確實存在的隔墻。站在工程實踐這邊，如果突破不了則寫的論文、做的工程項目不上檔次；站在科學研究這邊，如果突破不了則論文沒有落地、研究實用價值不明顯。一旦突破，則兩邊融會貫通。這堵隔墻就是高等數(shù)學。
幸運的是，我遇到的是碩士生導師王如龍教授、博士生導師章兢教授，他們都是既注重科學研究又注重工程應用的，一再要求從事的研究工作必須要有工程背景、實際應用。以此要求為基調，在碩士三年和博士四年的學習期間，我都在工程和科學的研究中保持了一種比較好的平衡。
軟件的應用開發(fā)通常不需要太多的高等數(shù)學知識，但是做大數(shù)據(jù)技術的研發(fā)必然涉及機器學習的模型，模型背后的原理需要運用到大量的高等數(shù)學知識，其中也包括微積分。
我感覺到，作為一名碩士研究生、博士研究生，與本科生和普通的工程技術人員最大的區(qū)別就是“研究生通常是突破了隔墻的人”。更具體地說，研究生具備“三種能力”，即研究生能在科學研究與工程實踐之間融會貫通，能用數(shù)學知識描述、計算并建立解決方案的模型，能動手運用數(shù)學知識解釋工程原理并做出應用。這是我對研究生從事研究工作的樸素理解，要具備這“三種能力”，始終離不開高等數(shù)學。
在研究生階段需要更多地進行自習，如果沒有在大學里掌握微積分、線性代數(shù)、概率論，要研習并懂得做專業(yè)研究用到的數(shù)學知識幾乎沒有可能。例如，研究工程機械應力應變的有限元分析需要大量運用到微積分中的導數(shù)、積分等知識；研究人工智能領域的機器學習需要大量運用到極限、微分方程、偏導數(shù)等知識。
3. 社會中方見高等數(shù)學功夫，感悟中領會高等數(shù)學力量
如果認為人生目標只是謀個生計、圖口飯吃，我覺得不學高等數(shù)學也問題不大。但是，要做個有追求的人、在專業(yè)領域有所建樹的人，至少從事理工科專業(yè)的人士不太可能離開高等數(shù)學。
首先，工程應用的背后運用到大量高等數(shù)學知識。我從事教育科學研究用到過支持向量機、神經(jīng)網(wǎng)絡等人工智能模型解決教育大數(shù)據(jù)分析的技術問題，有微積分、線性代數(shù)、概率論等知識作為背景，可以較好地理解模型的每個參數(shù)代表的意義，可以輕松自如地調節(jié)模型參數(shù)，從而取得較好的泛化能力用于預測。
其次，經(jīng)過高等數(shù)學洗禮的人更具嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L。為什么學習高等數(shù)學就是一種修為？并不是因為知識本身，而是因為在學習過程中可以積累起用高等數(shù)學描述和解決問題的嚴謹性，修煉出一種對人對事都“認真而又有節(jié)奏感”的數(shù)學修為。
最后，我喜歡在遇到紛雜的事務后到專業(yè)領域里來修身修心。每個人都有不同的愛好，有的人一有空就搓麻將消磨時光，有的人遇到心煩的事就邀約三五朋友喝酒唱歌。我更喜歡看看有高等數(shù)學知識的專業(yè)書，因為捧上一本專業(yè)書，心靜下來了，人也平復了，再沒有心煩的事，再沒有紛紛擾擾；何況一進入學習狀態(tài)，還能學到知識、提升價值。所以說，“有高等數(shù)學修為的人，想不都難，這就是力量”。
縱觀與高等數(shù)學的26年情緣，可以小結為“與其厭煩，不如擁抱；既做修行，當認真學習”。自此開篇，我和大家一起來再次學習微積分知識。
二、 談談厭煩高等數(shù)學的原因及應對辦法
接下來，我想從普適的角度談談為什么大家會厭煩高等數(shù)學。如圖2所示，我從三個角度來進行評判。
圖2厭煩高等數(shù)學的原因及對策
1. 普遍厭煩高等數(shù)學的原因是什么
大家在社會中的分工不同，研究的專業(yè)領域不同，喜好自然也是不同。之所以普遍會對高等數(shù)學有點煩，我想無非三點原因。
優(yōu)質點，高等數(shù)學里符號特別多，讓人心生畏懼。這尤以微積分更甚。像“∑”“∏”“∫”這些大型運算符，一看就讓人自然而然地產生一種壓迫感。
第二點，普通的工作用不到高等數(shù)學，讓人本能回避。通常加、減、乘、除等基本運算就能解決日常工作和生活的問題，不需要用到多么高深的數(shù)學知識。
第三點，高等數(shù)學的現(xiàn)有讀物并不友好，讓人提不起興趣。市面上有關高等數(shù)學（特別是微積分的讀物）的圖書多為教材，無論是大學教材還是考研、自考用書，明顯讓人感覺枯燥。緣此，很少有人不厭煩高等數(shù)學。
2. 為什么提倡大家學高等數(shù)學
我們應該不厭其煩地學習高等數(shù)學，原因有三。
其一，數(shù)學符號并不可怕。人天生對未知事物有恐懼感，如果熟悉并且理解了背后的方法，自然就不怕了。
其二，大學生與普通人的不同之處就是高等數(shù)學。我時常提醒教過的大學生: “作為一名大學生，不學懂弄通點與普通人不一樣的高等數(shù)學知識，怎么能在專業(yè)領域有所建樹和體現(xiàn)與別人的價值差異呢？”高等數(shù)學就是這樣，如果基礎打好了，會發(fā)現(xiàn)在專業(yè)知識領域可以有廣闊的學習空間，可以解決不一般的問題，可以深入理解很多定論背后的原理。
其三，我真心想讓圖書活起來�，F(xiàn)在我就是想做這樣的一件事，讓枯燥的高等數(shù)學變得有趣一點、容易一點、實用一點�！叭齻�一點”加起來就會讓高等數(shù)學形象很多。我非常愿意嘗試這樣的圖書創(chuàng)作，惠及更多的普通人，使其成長為專業(yè)的、掌握高等數(shù)學知識的、不一般的勞動者。
3. 怎么讓自己不厭煩高等數(shù)學
想不厭煩高等數(shù)學就得想辦法提起學習的興趣，辦法自然有很多。
優(yōu)質種辦法是激發(fā)學習動力。動力有很多種，通�？捎媚繕藢蚍ㄅ嘤齽恿Α＠�，拿下微積分，通過自學課程考試；
鄧子云，長沙商貿旅游職業(yè)技術學院副校長、博士、博士后、教授。主持過重點課題、湖南省社科重大課題等省級以上重大、重點科研項目8項，縱向、橫向累計50余項;主持省級以上職業(yè)教育重點項目16項，其中精品課程、共享開放課程各1門。著有一作和獨著著作15本;已累計發(fā)表學術論文125篇。主筆的研究報告有4篇獲得省批示。曾獲得行指委教學成果一等獎、行業(yè)科技進步一等獎、湖湘智庫成果獎等獎勵；獲評為湖南省普通高校教學名師、及省黃炎培職業(yè)教育杰出教師、湖南省科技創(chuàng)新領軍人才、湖南省121高層次人才、湖南省學科帶頭人。主要研究方向：機器學習及大數(shù)據(jù)技術、高等職業(yè)教育。
目錄
第1章極限
知識樹 / 001
應用場景: 邊無窮多就成了圓 / 002
問題先導: 怎樣讓人感覺極限運算不復雜 / 003
1.1用動態(tài)和有界的觀點來理解極限 / 003
1.1.1怎么理解動態(tài)和有界 / 003
1.1.2求連續(xù)函數(shù)的極限 / 004
1.2求函數(shù)極限的方法 / 005
1.2.1用圖形法求函數(shù)的極限 / 005
1.2.2理解無窮小和無窮大 / 007
1.2.3比較無窮小和無窮大的階 / 011
1.2.4會用極限的運算法則 / 015
1.3極限計算的示例 / 016
1.3.1一眼看出計算結果 / 016
1.3.2會用兩個重要的極限 / 017
1.3.3算算錢存到銀行里3年后會有多少錢 / 019
1.3.4推導圓的周長和面積公式 / 020
1.4小結 / 022
第2章導數(shù)
知識樹 / 023
應用場景: 爬陡坡更累 / 024
問題先導: 學習導數(shù)有什么訣竅嗎 / 025
2.1用動態(tài)和微觀的觀點理解導數(shù) / 026
2.1.1用圖形來理解導數(shù) / 026
2.1.2用導數(shù)的定義計算導函數(shù) / 029
2.1.3徹底講透導數(shù)的內涵 / 029
2.1.4理解可導與連續(xù)的關系 / 030
2.1.5學習常用的求導法則 / 031
2.2計算導數(shù)的方法 / 034
2.2.1會用復合函數(shù)的求導法則 / 034
2.2.2會用函數(shù)乘法的求導法則 / 035
2.2.3會用函數(shù)除法的求導法則 / 037
2.2.4會用三角函數(shù)的求導法則 / 038
2.2.5會求隱函數(shù)的導數(shù) / 040
2.2.6會求反函數(shù)的導數(shù) / 041
2.2.7其他計算法則 / 042
2.3高階導數(shù) / 042
2.3.1理解高階導數(shù)的內涵 / 042
2.3.2初見泰勒公式 / 043
2.3.3初見麥克勞林公式 / 045
2.3.4運用泰勒公式和麥克勞林公式做近似計算 / 045
2.3.5用多項式擴展眼界表達可導函數(shù) / 047
◎2.3.6推導出泰勒公式 / 047
◎2.3.7用泰勒公式比較導數(shù)定義中無窮小的階 / 049
2.4洛必達法則 / 050
2.4.1學會使用洛必達法則 / 050
◎2.4.2推導出洛必達法則 / 051
2.5用導數(shù)解決實際問題 / 053
2.5.1求極值點 / 053
2.5.2求拐點 / 055
2.5.3求自由落體物體的速度與加速度 / 059
2.6小結 / 060
第3章偏導數(shù)
知識樹 / 061
應用場景: 房價隨影響因素的變化而變化 / 062
問題先導: 偏導數(shù)與導數(shù)有什么不同 / 063
3.1用動態(tài)和微觀的觀點理解偏導數(shù) / 064
3.1.1先會求偏導數(shù) / 064
3.1.2理解偏導數(shù)的幾何意義 / 065
3.1.3引出偏導數(shù)的定義 / 067
3.2方向導數(shù) / 068
3.2.1會計算二元函數(shù)的方向導數(shù) / 068
3.2.2補充學習一些向量知識 / 071
3.2.3補充學習一些矩陣計算知識 / 073
3.2.4解決一個很多人的困惑 / 074
3.2.5理解什么是梯度 / 075
3.3多元函數(shù)的凹凸性 / 077
3.3.1理解什么是凸函數(shù)和凹函數(shù) / 077
3.3.2如何判定一元函數(shù)的凹凸性 / 078
◎3.3.3如何判定多元函數(shù)的凹凸性 / 081
◎3.4多元函數(shù)的泰勒公式 / 087
3.4.1初見多元函數(shù)的泰勒公式 / 087
3.4.2理解泰勒公式的矩陣形式 / 088
3.5用偏導數(shù)解決實際問題 / 091
3.5.1運用偏導數(shù)考察合力隨平面位置的變化 / 091
3.5.2運用梯度做優(yōu)化計算 / 092
◎3.5.3運用多元函數(shù)的泰勒公式做近似計算 / 097
3.6小結 / 098
第4章微分
知識樹 / 100
應用場景: 從微觀角度理解矩形面積的增量和不規(guī)則圖形的面積 / 101
問題先導: 微分、導數(shù)、積分的知識是怎么相通的 / 102
4.1用動態(tài)和微觀的觀點理解微分 / 103
4.1.1理解微分 / 103
4.1.2掌握微分的計算法則 / 105
4.1.3理解并計算偏微分和全微分 / 105
4.2極坐標系 / 107
4.2.1理解極坐標系 / 107
4.2.2什么樣的函數(shù)適用于使用極坐標系 / 109
4.2.3理解多元函數(shù)的球坐標系 / 111
4.3中值定理 / 113
4.3.1理解羅爾中值定理 / 113
4.3.2理解拉格朗日中值定理 / 114
4.3.3理解柯西中值定理 / 114
4.4用微分解決實際問題 / 115
4.4.1用微分近似求面積的變化量 / 115
4.4.2用極坐標系和微分計算雷達中物體的速度 / 116
4.4.3用中值定理分析企業(yè)的生產成本 / 117
4.5小結 / 118
第5章不定積分
知識樹 / 119
應用場景: 從注水速度函數(shù)反推出注水量函數(shù) / 120
問題先導: 記住不定積分的公式有什么辦法 / 121
5.1以導數(shù)為基礎反向理解不定積分 / 122
5.1.1理解原函數(shù)和不定積分的定義 / 122
5.1.2從幾何上理解不定積分 / 123
5.1.3從定義來看如何求不定積分 / 125
5.2計算不定積分的方法 / 126
5.2.1對應導數(shù)記憶不定積分公式 / 126
5.2.2從乘法、除法至深入學習分部積分法 / 128
5.2.3學習一些簡單的計算法則 / 132
5.2.4學會使用換元積分法 / 133
5.3用不定積分解決實際問題 / 134
5.3.1反推自由落體的距離計算公式 / 134
5.3.2用不定積分計算曲線的長度函數(shù) / 135
5.3.3根據(jù)電流函數(shù)推導出電荷量函數(shù) / 136
5.4小結 / 136
第6章定積分
知識樹 / 137
應用場景: 計算水壩迎水面的壓力 / 138
問題先導: 計算定積分有什么訣竅 / 140
6.1以不定積分為基礎理解定積分 / 141
6.1.1一字之差道出本質 / 141
6.1.2從幾何意義上理解定積分 / 142
6.1.3注意區(qū)分計算面積和計算定積分 / 143
6.2定積分的基本性質和一個定理 / 145
6.2.1理解定積分的可加性 / 145
6.2.2上下限變反導致定積分結果符號也變反 / 145
6.2.3兩函數(shù)的大小關系在定積分后仍然相同 / 145
6.2.4理解關于最大值與最小值的不等式性質 / 146
6.2.5理解定積分的中值定理 / 147
6.2.6做計算練習加深理解 / 147
6.3定積分的一些拓展知識 / 148
6.3.1理解求原函數(shù)的一個定理 / 148
6.3.2學會使用換元法求定積分 / 150
6.3.3理解廣義積分 / 151
6.4用定積分解決實際問題 / 154
6.4.1用定積分計算圖形的面積 / 154
6.4.2用定積分計算旋轉體的體積 / 156
6.4.3用定積分求自由落體運動下降的距離 / 159
6.5小結 / 160
第7章多重積分
知識樹 / 161
應用場景: 計算不規(guī)則物體的面積和體積 / 162
問題先導: 二重積分計算的到底是面積還是體積 / 163
7.1再次用微觀和累加的觀點理解二重積分 / 164
7.1.1通過幾何意義理解二重積分 / 164
7.1.2理解二重積分的性質 / 165
7.1.3理解更高重的積分 / 166
7.2二重積分的計算 / 166
7.2.1先學會計算二重積分 / 166
7.2.2理解為什么可以這么計算 / 169
7.2.3如何計算積分區(qū)域為矩形時的二重積分 / 170
7.2.4學會對復雜的積分區(qū)域做劃分 / 173
◎7.3二重積分的拓展知識 / 174
7.3.1學會在極坐標系下計算二重積分 / 174
7.3.2學會計算曲線積分和環(huán)路積分 / 176
7.3.3學會計算三重積分 / 182
7.4用多重積分解決實際問題 / 187
7.4.1用二重積分計算平面薄板的質量 / 187
7.4.2用二重積分計算建筑物地基承受的壓力 / 188
◎7.4.3用環(huán)路積分計算圓周運動的位移 / 189
7.5小結 / 190
第8章常微分方程
知識樹 / 191
應用場景: 描述電源撤除后RL電路中電流的變化規(guī)律 / 192
問題先導: 求解常微分方程有什么通用的思路 / 194
8.1常微分方程的定義及簡單的常微分方程 / 195
8.1.1理解什么是常微分方程 / 195
8.1.2學會求解可分離變量方程 / 195
8.1.3學會求解簡單的齊次微分方程 / 196
8.2一階常微分方程 / 198
8.2.1學會求解一階齊次線性微分方程 / 198
8.2.2學會求解一階非齊次線性微分方程 / 200
8.2.3學會求解伯努利方程 / 204
◎8.2.4學會求解全微分方程 / 207
8.3二階常微分方程 / 211
8.3.1學會求解可降階的3種二階常微分方程 / 212
8.3.2理解二階線性齊次微分方程解的結構 / 215
8.3.3理解二階線性非齊次微分方程解的結構 / 217
8.3.4學會求解二階常系數(shù)線性齊次微分方程 / 218
8.3.5理解歐拉公式 / 223
8.3.6學會求解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 / 224
8.4用常微分方程解決實際問題 / 229
8.4.1用可分離變量方程求解熱茶冷卻的時間 / 229
8.4.2用一階線性微分方程分析RC電路的充電過程 / 230
8.4.3用二階線性齊次微分方程分析RLC電路 / 233
8.5小結 / 234
附錄A后續(xù)學習建議
參考文獻
書單推薦
